【题目】如图(1),已知菱形的边长为
,点
在
轴负半轴上,点
在坐标原点,点
的坐标为(
,
),抛物线
顶点在
边上,并经过
边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)点关于直线
的对称点是
,求点
到点
的最短距离;
(3)如图(2)将菱形以每秒
个单位长度的速度沿
轴正方向匀速平移,过点
作
于点
,交抛物线于点
,连接
、
.设菱形
平移的时间为
秒(
),问是否存在这样的
,使
与
相似?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)
(3)存在t=1,使△ADF与△DEF相似
【解析】分析:(1)分别求出AB中点的坐标,抛物线的顶点坐标,再用待定系数法求抛物线的解析式;(2);判断点C′在以M为圆心,长为半径的圆上;(3)∠DEF=90°,∠DAF<90°,所以分两种情况讨论,利用相似三角形的对应比成比例列方程求解.
详解:(1)由题意得AB的中点坐标为(,0),抛物线的顶点坐标为(0,3),分别代入y=ax2+b,得
,解得
.
∴这条抛物线的函数解析式为.
(2)∵点C(,3)关于直线
的对称点是C′,
过点(0,3),
∴C′一定在点(0,3)为圆心,为半径的圆上,
由勾股定理得AM=,
当点A,C′,M在一条直线上时,AC′最小,最小值为AM-MC′,
即AC′的最小值为AM-MC′=.
∴点C′到点A的最短距离为.
(3)如图2所示,在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC=,
∴,
∴∠C=60°,∠CBE=30°。∴EC=BC=
,DE=
.
又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°得∠ADC=180°-60°=120°,
要使△ADF与△DEF相似,则△ADF中必有一个角为直角,而∠DAF<60°,
∴∠ADF=90°或∠AFD=90°.
(I)若∠ADF=90°,∠EDF=120°-90°=30°,
在Rt△DEF中,DE=,得EF=1,DF=2,
又∵E(t,3),F(t,-t2+3),
∴EF=3-(-t2+3)=t2,得∴t2=1,∵t>0,∴t=1,
此时,∴
.
又∵∠ADF=∠DEF,∴△ADF∽△DEF,
(II)若∠DFA=90°,可证得△DEF∽△FBA,则,
设EF=m,则FB=3-m,
∴,即m2-3m+6=0,此方程无实数根,
∴此时t不存在.
综上所述,存在t=1,使△ADF与△DEF相似.
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【题目】喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序,即需要将电热水壶中的水烧到100℃,然后停止烧水,等水温降低到适合的温度时再泡茶,烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;停止加热过了1分钟后,水壶中水的温度 y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20℃,降温过程中水温不低于20℃.
(1)分别求出图中所对应的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围;
(2)从水壶中的水烧开(100℃)降到80℃就可以进行泡制绿茶,问从水烧开到泡茶需要等待多长时间?
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【题目】如图中是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m,从O、A两处观测P处,仰角分别为α、β,且tanα=,tanβ=
,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.若水面上升1m,水面宽为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,在中,
,
,
,⊙
与
、
、
都相切,切点分别是
、
、
,
、
的延长线交于点
,
、
是关于
的方程
的两个根.
(1)求证:是直角三角形;
(2)若,求四边形CEDF的面积.
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【题目】点燃蜡烛,按照与时间成正比例关系变短,长21cm的蜡烛,已知点燃6分钟后,蜡烛变短3.6cm,设蜡烛点燃x分钟后变短ycm,求:
(1)用x表示函数y的解析式;
(2)自变量的取值范围;
(3)此蜡烛几分钟燃烧完?
(4)画出此函数的图像。
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【题目】阅读题:课本上有这样一道例题:“解方程:
解:去分母得:
6(x+15)=15-10(x-7)①
6x+90=15-10x+70②
16x=-5③
x=- ④
请回答下列问题:
(1)得到①式的依据是________;
(2)得到②式的依据是________;
(3)得到③式的依据是________;
(4)得到④式的依据是________.
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【题目】如图,矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE交DC于点F,连接AF.设=k,下列结论:(1)△ABE∽△ECF,(2)AE平分∠BAF,(3)当k=1时,△ABE∽△ADF,其中结论正确的是( )
A.(1)(2)(3) B.(1)(3) C.(1)(2) D.(2)(3)
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【题目】如图,已知正比例函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为4,
(1)求k的值;
(2)根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k>0)于P、Q两点(P点在第一象限),若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224,求点P的坐标.
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