Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AC与反比例函数在第一象限内的图象交于点A、C，连接OA、OC，过点A作AB⊥x轴于点B，交OC于点D，且△AOB为等腰直角三角形，tan∠COB=

1

4

，S_△OBD=2．在直线OC上是否存在点P，使得P、D、A 为顶点的三角形与三角形BOD相似？若存在求出P点坐标，不存在说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：首先根据正切值，以及三角形的面积求得D和A的坐标，则利用待定系数法求得OC的解析式，然后分AP⊥OC和AP与OB平行两种情况进行讨论，即可求得P的坐标．

解答：解：∵tan∠COB=

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4

，
∴设BD=x，则OB=AB=4x，
∵S_△OBD=2，即

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2

x•4x=2，
解得：x=1，
则D的坐标是（4，1），A的坐标是（4，4）．
设直线OC的解析式是y=kx，则4k=1，
解得：k=

1

4

，
则直线OC的解析式是y=

1

4

x．
当AP⊥OC时，设直线AP的解析式是y=-4x+b，把（4，4）代入解析式得：-16+b=4，
解得：b=20，
则直线的解析式是：y=-4x+20，
则

y=-4x+20 y= 1 4 x

，
解得：

x= 80 17 y= 20 17

，
则P的坐标是：（

80

17

，

20

17

）；
当AP与OB平行时，在y=

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4

x中，令y=4，解得：x=16，则P的坐标是（16，4）．
总之，P的坐标是（

80

17

，

20

17

）或（16，4）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及相似三角形的判定与性质，分两种情况进行讨论是关键．