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【题目】如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
(1)求证:AE=BD;
(2)求证:MN∥AB.

【答案】
(1)证明:∵△ACD和△BCE是等边三角形,

∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,

∵∠DCA=∠ECB=60°,

∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,

在△ACE与△DCB中,

∴△ACE≌△DCB,

∴AE=BD;


(2)证明:∵由(1)得,△ACE≌△DCB,

∴∠CAM=∠CDN,

∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三点共线,

∴∠DCN=60°,

在△ACM与△DCN中,

∴△ACM≌△DCN(ASA),

∴MC=NC,

∵∠MCN=60°,

∴△MCN为等边三角形,

∴∠NMC=∠DCN=60°,

∴∠NMC=∠DCA,

∴MN∥AB.


【解析】(1))先由△ACD和△BCE是等边三角形,可知AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,根据SAS定理可知△ACE≌△DCB,由全等三角形的性质即可得出结论;(2)由(1)中△ACE≌△DCB,可知∠CAM=∠CDN,再根据∠ACD=∠ECB=60°,A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°,由全等三角形的判定定理可知,△ACM≌△DCN,故MC=NC,再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形,故∠NMC=∠DCN=60°故可得出结论.

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