[题目](1)如图1.在Rt△ABC中.AB＝AC.∠BAC＝90°.点D为BC的中点.以CD为一边作正方形CDEF.点E恰好与点A重合.请判断线段BE与AF的数量关系并写出推断过程,(2)在(1)的条件下.如果正方形CDEF绕点C旋转.连接BE.CE.AF.线段BE与AF的数量关系有无变化?请仅就图2的情形给出证明,(3)在的条件下.若△ABC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】(1)（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，请判断线段BE与AF的数量关系并写出推断过程；

(2)（拓展研究）在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

(3)（结论运用）在(1)(2)的条件下，若△ABC的面积为2，当正方形CDEF旋转到B，E，F三点在同一直线上时，请直接写出线段AF的长．

【答案】（1）BE＝AF．见解析；（2）无变化．证明见解析；（3）线段AF的长为或．

【解析】

（1）首先证明△ADB是等腰直角三角形，推出AB=AD，再证明AF=AD即可解决问题；
（2）先利用三角函数得出，，推出，夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；

(3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=-，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．

（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，

根据勾股定理得，BC＝＝AB，

又∵点D为BC的中点，

∴AD＝BC＝AB，

∵四边形CDEF是正方形，

∴AF＝EF＝AD＝AB＝BE，

∴BE＝AF．

（2）无变化．

证明：如图2，在Rt△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴sin∠ABC＝＝，

在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC＝，

∴，

∵∠FCE＝∠ACB＝45°，

∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，

∴∠FCA＝∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，

∴，

∴BE＝AF，

∴线段BE与AF的数量关系无变化；

（3）当点E在线段AF上时，如图2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，
∴BE=BF-EF=-，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=-1，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=，
∴，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，
∴BE=BF+EF=+，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=+1．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为-1或+1．

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