Question

【题目】如图，将矩形OABC置于一平面直角坐标系中，顶点A，C分别位于x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），双曲线y＝（k≠0）在第一象限中的图象经过BC的中点D，与AB交于点E，P为y轴正半轴上一动点，把△OAP沿直线AP翻折，使点O落在点F处，连接FE，若FE∥x轴，则点P的坐标为___．

Answer 1

【答案】（0，）或（0，15）．

【解析】

延长EF交CO于G，依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到点E的横坐标为5，点E的纵坐标为3，再根据勾股定理可得EF的长，设OP＝x，则PG＝3﹣x，分两种情况讨论，依据Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，即可得到x的值，进而得出点P的坐标．

如图所示，延长EF交CO于G，

∵EF∥x轴，

∴∠FGP＝90°＝∠AEF，

∵双曲线y＝（k≠0）经过矩形OABC的边BC的中点D，点B的坐标为（5，6），

∴点D（，6），

∴k＝15，

又∵点E的横坐标为5，

∴点E的纵坐标为＝3，即AE＝3，

①当点F在AB左侧时，由折叠可得，AF＝AO＝5，

∴Rt△AEF中，EF＝＝4，

∴GF＝5﹣4＝1，

设OP＝x，则PG＝3﹣x，

∵Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，

∴12+（3﹣x）2＝x2，

解得x＝，

∴点P的坐标为（0，）；

②当点F在AB右侧时，同理可得EF＝4，

∴GF＝5+4＝9，

设OP＝x，则PG＝x﹣3，

∵Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，

∴92+（x﹣3）2＝x2，

解得x＝15，

∴点P的坐标为（0，15）；

故答案为：（0，）或（0，15）．