Question

2．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与BC、AC分别交于D，G，过D的切线垂直AC于E，与AB的延长线交于F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若∠A=45°，求DE与DF数量关系；
（3）若AB=5，BC=6，求tan∠F值．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图1，由切线的性质得OD⊥EF，加上EF⊥AC，则可判断OD∥AC，所以∠1=∠C，由于∠1=∠2，则∠C=∠B，于是根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）作OH⊥AC于H，如图1设⊙O的半径为r，证明△AOH为等腰直角三角形得到OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，易得四边形OHED为矩形，则DE=OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，再证明△ODF为等腰直角三角形得到DF=OD=r，所以DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF；
（3）作OH⊥AC于H，连结AD，如图2，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，再计算出AD=4，接着证明△CED∽△CDA，利用相似比计算出DE=$\frac{12}{5}$，CE=$\frac{9}{5}$，则AH=$\frac{7}{10}$，然后在Rt△AOH中，利用正切定义得tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{7}{24}$，再证明∠F=∠AOH，从而得到tan∠F=$\frac{7}{24}$．

解答 （1）证明：连结OD，如图1，
EF为切线，
∴OD⊥EF，
∵EF⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠1=∠C，
∵OB=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；
（2）解：作OH⊥AC于H，如图1，
设⊙O的半径为r，
∵∠A=45°，
∴△AOH为等腰直角三角形，
∴OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
易得四边形OHED为矩形，
∴DE=OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r
∵∠F=90°-∠A=45°，
∴△ODF为等腰直角三角形，
∴DF=OD=r，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF；
（3）解：作OH⊥AC于H，连结AD，如图2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
而AB=AC=5，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，即$\frac{DE}{4}$=$\frac{CE}{3}$=$\frac{3}{5}$，
∴DE=$\frac{12}{5}$，CE=$\frac{9}{5}$，
而OH=DE=$\frac{12}{5}$，EH=OD=$\frac{5}{2}$，
∴AH=5-$\frac{9}{5}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{10}$，
在Rt△AOH中，tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{\frac{7}{10}}{\frac{12}{5}}$=$\frac{7}{24}$，
∵OH∥EF，
∴∠F=∠AOH，
∴tan∠F=$\frac{7}{24}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质．