Question

⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB和CD的距离是

 

cm．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：分类讨论

分析：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥AB，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE-OF即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可．

解答：解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OF⊥AB，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴F、E分别为AB、CD的中点，
∴AF=BF=

1

2

AB=4，CE=DE=

1

2

CD=3，
在Rt△COE中，
∵OC=5，CE=3，
∴OE=

52-32

=4，
在Rt△AOF中，OA=5，AF=4，
∴OF=

52-42

=3，
∴EF=OE-OF=4-3=1；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=4+3=7，
综上，弦AB与CD的距离为7或1．
故答案为：7或1．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．