Question

16．如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论：
①m+n=q+p；
②m+p=n+q；
③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点；
④若m=n，则E点一定在BD上．
其中正确结论的序号是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，由矩形的性质容易证出①不正确，②正确；若m=n，则p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥DE于Q，延长BE交CD于F，先证AP=CQ，再证明△ABP≌△CFQ，得出AB=CF，F与D重合，得出③不正确，④正确，即可得出结论．

解答 解：过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，如图1所示：
则m=$\frac{1}{2}$AB•EM，n=$\frac{1}{2}$BC•EH，p=$\frac{1}{2}$CD•EN，q=$\frac{1}{2}$AD•EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=GH，BC=AD=MN，
∴m+p=$\frac{1}{2}$AB•MN=$\frac{1}{2}$AB•BC，n+q=$\frac{1}{2}$（BC•GH=$\frac{1}{2}$BC•AB，
∴m+p=n+q；
∴①不正确，②正确；
若m=n，则p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥BE于Q，延长BE交CD于F，如图2所示：
则∠APB=∠CQF=90°，
∵m=$\frac{1}{2}$BE•AP，n=$\frac{1}{2}$BE•CQ，
∵m=n，
∴AP=CQ，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
在△ABP和△CFQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{∠APB=∠CQF}&{\;}\\{AP=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CFQ（AAS），
∴AB=CF，
∴F与D重合，
∴E一定在BD上；
∴③不正确，④正确．
故选：B．

点评 本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．