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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线轴交于两点(在点的左侧),与轴交于点,经过点的直线与该抛物线交于另一点,并且直线轴,点为该抛物线上一个动点,点为直线上一个动点.

1)当,且时,连接,求证:四边形是平行四边形

2)当时,连接,线段与线段交于点,且,连接,求线段的长;

3)连接,试探究:是否存在点,使得互为余角?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)见解析;(2;(3)存在,

【解析】

1)由二次函数的性质,先求出点ABC的坐标,然后得到点D的坐标,则得到的值,把点P代入抛物线,求出m的值,由平行四边形的判定,即可得到答案;

2)由题意,表示PQ的长度,然后求出,再由,得到,即可得到答案;

3)根据题意,利用三角函数得到,然后分两种情况进行分类讨论:①当点在直线上方时,;②当点在直线下方时,

;分别求出m的值,即可得到点P的坐标.

解:如图:

1)证明:当时,

解得

.

时,

.

∵直线轴,

∴直线的解析式为.

解得

.

∵点在直线上,

.

,点在该抛物线上,

解得 (舍去).

∵直线轴,

∴四边形是平行四边形.

2两点的横坐标都是

∴直线轴,

,则

解得:.

.

∵直线轴,

,

3)假设存在点,使得互为余角,即.

.

连接.

∵直线轴,直线轴,

是直角三角形,且.

①当点在直线上方时,

(i)若点轴左侧,则

.

,解得 (舍去) (舍去).

(ii)若点轴右侧,则

.

,解得 (舍去).

②当点在直线下方时,

,解得 (舍去)

综上,存在点,使得互为余角.

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整理情况

频数

频率

非常好

0.21

较好

70

0.35

一般

m

不好

36

请根据图表中提供的信息,解答下列问题:

(1)本次抽样共调查了   名学生;

(2)m=   

(3)该校有1500名学生,估计该校学生整理错题集情况非常好较好的学生一共约多少名?

(4)某学习小组4名学生的错题集中,有2非常好(记为A1、A2),1较好(记为B),1一般(记为C),这些错题集封面无姓名,而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同,从中抽取一本,不放回,从余下的3本错题集中再抽取一本,请用列表法画树形图的方法求出两次抽到的错题集都是非常好的概率.

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