【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与轴交于点,经过点的直线与该抛物线交于另一点,并且直线轴,点为该抛物线上一个动点,点为直线上一个动点.
(1)当,且时,连接,,求证:四边形是平行四边形
(2)当时,连接,线段与线段交于点,,且,连接,求线段的长;
(3)连接,,试探究:是否存在点,使得与互为余角?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)存在,
【解析】
(1)由二次函数的性质,先求出点A、B、C的坐标,然后得到点D的坐标,则得到与的值,把点P代入抛物线,求出m的值,由平行四边形的判定,即可得到答案;
(2)由题意,表示PQ的长度,然后求出,,再由,得到,即可得到答案;
(3)根据题意,利用三角函数得到,然后分两种情况进行分类讨论:①当点在直线上方时,;②当点在直线下方时,,
;分别求出m的值,即可得到点P的坐标.
解:如图:
(1)证明:当时,,
解得,
,
.
当时,,
.
∵直线轴,
∴直线的解析式为.
,
解得,
,
.
∵点在直线上,
.
,
,点在该抛物线上,
解得或 (舍去).
∵直线轴,
,
,
,
∴四边形是平行四边形.
(2)两点的横坐标都是,
∴直线轴,
设,则,
,
解得:或.
,
,.
∵直线轴,
,
∴,
,
,
,
,
;
(3)假设存在点,使得与互为余角,即.
,
.
,
连接.
∵直线轴,直线轴,
是直角三角形,且.
①当点在直线上方时,
(i)若点在轴左侧,则,
.
,解得 (舍去), (舍去).
(ii)若点在轴右侧,则,
.
,解得 (舍去),.
,
②当点在直线下方时,,
,解得 (舍去),
,
;
综上,存在点,使得与互为余角.
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【题目】有一个著名的希波克拉蒂月牙问题:如图1,以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆,则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和,现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2,把较小的两张半圆纸片的重叠部分面积记为S1,大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为S2,则直角三角形的面积可表示成( )
A.S1+S2B.S2﹣S1C.S2﹣2S1D.S1S2
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,AD为弦,∠DBC=∠A.
(1)求证:BC是半圆O的切线;
(2)若OC∥AD,OC交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的长.
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【题目】2020年的寒假是“不同寻常”的一个假期.在这个超长假期里,某中学随机对本校部分同学进行“抗疫有我,在家可以这么做”的问卷调查:A扎实学习、B经典阅读、C分担劳动、D乐享健康,(每位同学只能选一个),并根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图.
根据统计图提供信息,解答问题:
(1)本次一共调查了_______名同学;
(2)请补全条形统计图;在扇形统计图中A所对应的圆心角为 度;
(3)若该校共有1600名同学,请你估计选择A有多少名同学?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,顶点坐标为,与轴的交点在,之间(包含端点),以下结论: ①;②;③;④关于的方程没有实数根.其中正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】已知:抛物线的对称轴为,与轴交于、两点,与轴交于点,其中、.
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)在对称轴上是否存在一点,使得的周长最小.若存在请求出点的坐标.若不存在请说明理由.
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【题目】为培养学生良好学习习惯,某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动,对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查,根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表.
整理情况 | 频数 | 频率 |
非常好 | 0.21 | |
较好 | 70 | 0.35 |
一般 | m | |
不好 | 36 |
请根据图表中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样共调查了 名学生;
(2)m= ;
(3)该校有1500名学生,估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名?
(4)某学习小组4名学生的错题集中,有2本“非常好”(记为A1、A2),1本“较好”(记为B),1本“一般”(记为C),这些错题集封面无姓名,而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同,从中抽取一本,不放回,从余下的3本错题集中再抽取一本,请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率.
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【题目】4月18日,一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行,如图,广场上有一风筝A,小江抓着风筝线的一端站在D处,他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°,同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC=30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°,已知小江与居民楼的距离CD=40米,牵引端距地面高度DE=1.5米,根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米,参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.414).
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【题目】如图,矩形中,,,将矩形绕点顺时针旋转,点分别落在点,,处.
(1)直接填空:当时,点所经过的路径的长为___________;
(2)若点,,在同一直线上,求的值.
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