Question

8．已知O是平面直角坐标系的原点，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，AC平分∠OAB，交y轴于点C，求OC的长．

Answer 1

分析 作出图形，根据直线解析式求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，过点C作CD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得OC=CD，设OC=y，用∠ABO的正弦表示出BC，然后根据OB的长度列方程求解即可．

解答 解：如图，令y=0，则-$\frac{4}{3}$x+8=0，
解得x=6，
所以，OA=6，
令x=0，则y=8，
所以，OB=8，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
过点C作CD⊥AB于D，
∵AC平分∠OAB，
∴OC=CD，
设OC=y，
则CD=x，
BC=CD÷sin∠ABO=y÷$\frac{6}{10}$=$\frac{5}{3}$y，
∵OB=OC+BC=y+$\frac{5}{3}$y=$\frac{8}{3}$y，
∴$\frac{8}{3}$y=8，
解得y=3，
即OC=3．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．