Question

【题目】如图，已知抛物线Y=ax2+bx一3与X轴相交于A(一1，0)，B(3，0)，P为抛物线上第四象限上的点．

（1）求该抛物线的函数关系式．
（2）过点P作PD⊥X轴于点D，PD交BC于点E，当线段PE的长度最大时，求点P的坐标．
（3）当线段PE的长度最大时，作PF ⊥BC于点F，连结DF．在射线PD上有一点Q，满足∠PQB=∠DFB，问在坐标轴上是否存在一点R，使得S△RBE=S△QBE；如果存在，直接写出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解 ：将A(一1，0)，B(3，0)分别代入Y=ax2+bx一3得

解得
∴该抛物线的函数关系式为 y=x2-2x-3 ;
（2）解 ：把x=0代入y=x2-2x-3 ;得，y=-3 ,
∴C （0，-3） ，
设直线BC的解析式为y=kx+b,将C （0，-3）与B(3，0)，分别代入得 ，

解得 ,
∴直线BC的解析式为y=x-3 ;
设P （m,m2-2m-3）,
过点P作PD⊥X轴于点D，PD交BC于点E ，
E （m,m-3） ,
∴PE=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m=-(m-)2+ ,
故当m=时，PE最大。此时P （，-）

（3）解 ：当线段PE的长度最大时 ,P （ ，-） ，E （，- ） ，PE = ,
∴ D(,0) ,
∴BD =
∵B（3,0） ，C （0,3）
∴OB=3=OC ，
∴OBC为等腰直角三角形 ，∴∠OBC=45° ,
在RtDBE中，∠ABC=45° ,DB= ,
∴BE= ,∠DEB=45° ,
∴∠PEF=45°
在RtPEF中 ∠PEF=45° PE= ,
∴EF= ,
∴BF= ;
∵∠PQB=DFB ,∠DBE=∠DEB=45° ,
∴QBE∽FDB ,
∴DB∶BE＝BF∶QE ,
即 ∶=∶QE ,
∴QE= ,
∵SBQE=·QE·DB== ;
当R点在x轴上时，设R （n,0） ,BR=|3-n| ,
∴SRBE= ,
∴=|3-n|·
|3-n|=
n1=- n2= .
∴R (-,0) (,0) ;
当R在y轴上的时候，设R（0，z）
SBER=SBRC-SREC
∴=3×|z-3|-××|z-3|
解得 z1= ,z2=- ;
∴R (0,-) (0, ) ,
综上所述，R点的坐标为（0 . ） （0，- ）（ ，0）（ -，0）

【解析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式 ；
（2）首先求出C点的坐标，再用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x-3 ；设P （m,m2-2m-3），过点P作PD⊥X轴于点D，PD交BC于点E ，从而E （m,m-3） ，故PE=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m=-(m-)2+ ，从而求出当m=时，PE最大，此时P （，-）；
（3）首先求出E 点坐标，PE长度，进而得出BD的长度，根据B,C两点的坐标判断出OBC为等腰直角三角形，进而根据勾股定理得出BE的长，根据对顶角相等得出在RtPEF中∠PEF=45°，根据勾股定理得出EF的长，从而得出BF的长，然后判断出QBE∽FDB ,根据相似三角形对应边成比例列出方程，求出QE的长，根据三角形的面积公式求出SBQE，当R点在x轴上时，设R （n,0） ,BR=|3-n| ,根据S△RBE=S△QBE列出方程求出n的值，得出R点的坐标，当R在y轴上的时候，设R（0，z） 由SBER=SBRC-SREC列出方程求出z的值，再求出R点在y轴上的时候的坐标，从而得出本题答案。