Question

【题目】在边长为3的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA边上，且满足EB=FC=GD=HA=1，BD分别与HG、HF、EF相交于M、O、N.给出以下结论，
①HO=OF ②0F2=ON·OB③HM=2MG ④S△HOM= ，其中正确的个数有（ ）


A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解 ：∵四边形ABCD是正方形，
∴ AD=BC =AB=CD=3 , ,∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC=90° ,∠ADB=∠DBC=45° ,
∵EB=FC=GD=HA=1 ,
∴AE＝＝CG＝BF＝DH=2 ,
∴AEH≌BFE≌CGF≌DHG ,
∴EH=EF=FG=GH ,∠AHE＝∠BEF ,
∵∠AEH＋∠AHE=90° ,
∴∠AEH＋∠BEF=90° ,
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是正方形 ，
∴∠OFN=45°
∴,∠OFN=∠OBF=45° ,
又∵∠FON=∠BOF ,
∴ONF∽OFB ,
∴ON∶OF＝OF∶OB ,
∴0F2=ON·OB ; 故②正确；
在HOD与FOB中 ，
∵,∠ADB=∠DBC ，∠HOD=∠FOB ,HD=BF ,
∴HOD≌FOB ,
∴HO=OF ;故①正确；
∵SHDM∶SDMG=2∶1 ，SHDM∶SDMG=HM∶MG ,
∴HM∶MG =2∶1 ,
∴HM=2MG ;故③正确；
在RtAEH中，∠A＝90° ,AH=1 ,AE=2 ,
根据勾股定理EH= ，
∵S正方形EFGH=5 ,SHOG=S正方形EFGH= ,
又∵SHOM∶SOMG=HM∶MG=2∶1 ，
∴S△HOM= 。故④正确。
故答案为 ：D .

根据正方形的性质得出AD=BC =AB=CD=3 , ,∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC=90° ,∠ADB=∠DBC=45°，进而得出AE＝＝CG＝BF＝DH=2 ,从而判断出AEH≌BFE≌CGF≌DHG ,根据全等三角形的性质得出EH=EF=FG=GH ,∠AHE＝∠BEF ,根据三角形的内角和及同角的余角相等，平角的定义得出∠HEF=90° ，进而判断出四边形EFGH是正方形 ，根据正方形的性质判断出∠OFN=∠OBF=45° ,进而判断出ONF∽OFB ,根据相似三角形的性质得出0F2=ON·OB ；
根据AAS判断出HOD≌FOB ,根据全等三角形的性质得出HO=OF ；
根据角平分线的性质定理得出HDM与DMG如果分别以DH,DG为底的话，它们的高相等，从而得出SHDM∶SDMG=2∶1 又SHDM∶SDMG=HM∶MG ，HM∶MG =2∶1 ,HM=2MG ；
首先利用勾股定理得出EH的长，进而得出正方形EFGH的面积，根据正方形的性质得出SHOG=S正方形EFGH= ,又SHOM∶SOMG=HM∶MG=2∶1 从而得出答案。