Question

【题目】如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D．

（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=BC=m，OA=m﹣3，

∴点A的坐标是（3﹣m，0）

（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°

∴OD=OA=m﹣3，

则点D的坐标是（0，m﹣3）．

又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，

所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，

得：

解得

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1

（3）解：方法一：

证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，

设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），

则QM=CN=（x﹣1）2，MC=QN=3﹣x．

∵QM∥CE

∴△PQM∽△PEC

∴

即 ，得EC=2（x﹣1）

∵QN∥FC

∴△BQN∽△BFC

∴

即 ，得

又∵AC=4

∴FC（AC+EC）= [4+2（x﹣1）]= （2x+2）= ×2×（x+1）=8

即FC（AC+EC）为定值8．

方法二：

设Q（t，t2﹣2t+1），B（3，4），

设直线BQ：y=kx+b，

∴lBQ：y=（t+1）x+1﹣3t，

把y=0代入y=（t+1）x+1﹣3t，

∴x= ，即F（ ，0），

∵P（1，0），Q（t，t2﹣2t+1），

∴lPQ：y=（t﹣1）x+1﹣t，

把x=3代入，∴y=2t﹣2，即E（3，2t﹣2），

∴FC（AC+EC）=（CX﹣FX）（CX﹣AX+EY﹣CY）=（3﹣ ）（4+2t﹣2）=8．

【解析】（1）求A点坐标可先求OA，利用线段之差即可求出；（2）先把抛物线解析式设成顶点式，再把B（3，m)、D点坐标（0，m-3)代入即可；（3） 线段的积可利用相似的性质对应边成比例，转化为其他线段的积.