Question

【题目】若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．

（1）若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝3，则BC＝　 　；

（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；

（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）3或；（2）2；（3）或

【解析】

（1）根据矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°．由于AB边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算．
（2）过O点作OH垂直BD，连接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD=2DH．
（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=x，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a（x+3）（x-2），把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，所以用韦达定理得到xB+xD和xBxD进而得到用a表示的（xB-xD）2．又由四边形面积可求得xB-xD=6，即得到关于a的方程并解方程求得a．

解：（1）设矩形ABCD对角线相交于点O

∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°

∴AO＝BO＝CO＝DO

∵矩形ABCD是“美丽四边形”∴AC、BD夹角为60°

i）如图，若AB＝3为较短的边，则∠AOB＝60°

∴△OAB是等边三角形

∴∠OAB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OAB＝∴BC＝AB＝3

ii）如图，若AB＝3为较长的边，则∠BOC＝60°

∴△OBC是等边三角形

∴OCB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OCB＝

∴BC＝

故答案为：3或．

（2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD

∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝BD∵AP＝1，PC＝5

∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6∴OA＝OC＝OD＝3

∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2

∵四边形ABCD是“美丽四边形”

∴∠OPH＝60°∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝∴OH＝OP＝∴Rt△ODH中，DH＝

∴BD＝2DH＝2

（3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N

∴∠BMO＝∠DNO＝90°

∵四边形ABCD是“美丽四边形”∴∠BOM＝∠DON＝60°

∴tan∠DON＝，即

∴直线BD解析式为y＝x

∵二次函数的图象过点A（﹣3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C

∴用交点式设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2）

∵整理得：ax2+（a﹣）x﹣6a＝0

∴xB+xD＝﹣，xBxD＝﹣6

∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xBxD＝（﹣）2+24

∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝ACBM+ACDN＝AC（BM+DN）

＝AC（yD﹣yB）＝AC（xD﹣xB）＝（xB﹣xD）

∴（xB﹣xD）＝15

∴xB﹣xD＝6∴（﹣）2+24＝36

解得：a1＝，a2＝

∴a的值为或．