Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：
（1）△ABC是等边三角形；
（2）AE=

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4

AC．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）连结OD，如图，根据切线的性质得OD⊥DE，易得OD∥AC，则∠DOB=∠C，由于∠B=∠C，则∠B=∠DOB，接着证明△DBO为等边三角形，得到∠B=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△ABC是等边三角形；
（2）由于△ABC是等边三角形，则∠A=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE=

1

2

AD，再证明D点为AB的中点，即AD=BD，则AE=

1

4

AB，于是有AE=

1

4

AC．

解答：证明：（1）连结OD，如图，
∵以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠DOB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠DOB，
∴DB=DO，
∴DB=DO=BO，
∴△DBO为等边三角形，
∴∠B=60°，
而AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=

1

2

AD，
∵OD∥AC，点O为BC的中点，
∴D点为AB的中点，即AD=BD，
∴AE=

1

4

AB，
∴AE=

1

4

AC．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得到垂直关系，构造直角三角形．