Question

3．如图，已知△ABC中，AC=6，∠ABC=45°．
（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹，写出结论，不写画法）；
（2）求出△ABC的外接圆半径．

Answer 1

分析 （1）作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）连结OC、OA，如图，根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，则可判断△OAC为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OA即可．

解答 解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）连结OC、OA，如图，
∵∠AOC=2∠ABC=90°，
而OA=OC，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=3$\sqrt{2}$，
即△ABC的外接圆半径为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．