Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论中：
①BD=BC=AD；②S_△ABD：S_△BCD=AD：DC；③BC²=CD•AC；④若AB=2，则BC=$\sqrt{2}$-1，
其中正确结论的个数是4个．

Answer 1

分析 在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正确；由三角形的面积公式得出②正确；利用三角形相似的判定与性质得出③④正确，即可得出结果．

解答 解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正确；
②△ABD与△BCD在AC边上的高相等，
故△ABD与△BCD的面积比等于对应底边的比，
∴②正确；
③由①的条件可证△BCD∽△ACB，
则BC：AC=CD：BC，
∴BC²=CD•AC，
∴③正确；
④设BC=x，则AC=AB=2，CD=AC-AD=2-x，
由BC²=CD•AC，得x²=（2-x）•2，
解得x=±$\sqrt{5}$-1（舍去负值），
∴BC=$\sqrt{5}$-1，
∴④正确．
正确的有4个，
故答案为：4．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．明确图形中的三个等腰三角形的特点与关系是解决问题的关键．