Question

13．在正方形ABCD中，点E为AD中点，DF=$\frac{1}{4}$CD，则下列说法：（1）BE⊥EF；（2）图中有3对相似三角形；（3）E到BF的距离为$\frac{1}{2}$AB；（4）$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BCF}}$=$\frac{5}{7}$．其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到AD=AB=BC=CD，∠A=∠ABC=C=∠D=90°，由于点E为AD中点，DF=$\frac{1}{4}$CD，于是得到$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$=2，推出△ABE∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠ABE=∠DEF，根据平角的定义得到∠BEF=90°，于是求得BE⊥EF；故①正确；根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{DE}=\frac{BE}{EF}$，等量代换得到$\frac{AB}{AE}=\frac{BE}{EF}$，推出△ABE∽△BEF，于是得到△ABE∽△BEF∽△DEF，即可得到图中有3对相似三角形；故②正确；根据相似三角形的性质得到∠ABE=∠EBF，根据角平分线的性质得到E到BF的距离=AE，于是得到E到BF的距离为$\frac{1}{2}$AB；故③正确；设DF=1，则AE=DE=2，AB=BC=CD=4，由勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，求得S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•EF=5，S_△BCF=$\frac{1}{2}$BC•CF=$\frac{1}{2}×4×3$=6于是得到$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BCF}}$=$\frac{5}{6}$，故④错误．

解答 解：在正方形ABCD中，
∵AD=AB=BC=CD，∠A=∠ABC=C=∠D=90°，
∵点E为AD中点，DF=$\frac{1}{4}$CD，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$=2，
∴△ABE∽△DEF，
∴∠ABE=∠DEF，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠BEF=90°，
∴BE⊥EF；故①正确；
∵△ABE∽△DEF，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BE}{EF}$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BE}{EF}$，
∵∠A=∠BEF=90°，
∴△ABE∽△BEF，
∴△ABE∽△BEF∽△DEF，
∴图中有3对相似三角形；故②正确；
∵△ABE∽△BEF，
∴∠ABE=∠EBF，
∴E到BF的距离=AE，
∴E到BF的距离为$\frac{1}{2}$AB；故③正确；
设DF=1，则AE=DE=2，AB=BC=CD=4，
∴CF=3，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•EF=5，S_△BCF=$\frac{1}{2}$BC•CF=$\frac{1}{2}×4×3$=6
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BCF}}$=$\frac{5}{6}$，故④错误，
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．