Question

7．如果点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，那么|AB|=|a-b|，根据这个公式解答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是3，数轴上表示-2和-5两点之间的距离是3；数轴上表示1和-$\sqrt{3}$两点之间的距离是1+$\sqrt{3}$．
（2）若数轴上A、B两点分别表示实数x和-$\sqrt{2}$，且|AB|=3，求x的值；
（3）若数轴上的三点P、A、B分别表示实数x，-$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$，求当代数式|x+$\sqrt{2}$|+|x-$\sqrt{3}$|取最小值时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用|AB|=|a-b|，分别求出答案；
（2）根据数轴上两点间的距离公式可知AB=|x+$\sqrt{2}$|=3，再根据绝对值的性质求出x的值即可；
（3）由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{3}$时，|x+$\sqrt{2}$|+|x-$\sqrt{3}$|有最小值．

解答 解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是：|2-5|=3，
数轴上表示-2和-5两点之间的距离是：|-2-（-5）|=3，
数轴上表示1和-$\sqrt{3}$两点之间的距离是：|1-（-$\sqrt{3}$）|=1+$\sqrt{3}$；
故答案为：3，3，1+$\sqrt{3}$；

（2）∵数轴上A、B两点分别表示实数x和-$\sqrt{2}$，且|AB|=3，
∴|x+$\sqrt{2}$|=3，
则x+$\sqrt{2}$=±3，
解得：x=-$\sqrt{2}$±3；

（3）如图，代数式|x+$\sqrt{2}$|取最小值时，即P到A、B的距离之和最小，
此时，P在A、B之间，
则-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了实数与数轴、绝对值，解答此题的关键是要明确：|x-a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离．