Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点N为抛物线上动点，当∠NBA＝∠OAC时，求点N的坐标，

（3）过点A的直线交直线BC于点M，当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）N的坐标为（﹣4，﹣45）；（3）点P的横坐标为4或或．

【解析】

（1）先求出C（0，﹣5），B（5，0），代入y＝ax2+6x+c得a、c的值，即可得出结果；

（2）求出A（1，0），得出OA＝1，OC＝5．过抛物线上任意一点N作NH⊥x轴于点H，连接AC、BN，由∠OAC是锐角，则N点的横坐标小于5，易证△NBH～△CAO，得出，设N的坐标为（n，﹣n2+6n﹣5），则NH＝|﹣n2+6n﹣5|，BH＝|5﹣n|，得出，求出n的值即可得出结果；

（3）证明△OCB和△AMB都为等腰直角三角形，则AM＝AB＝，由平行四边形的性质得出AM//PQ，PQ＝AM＝，推出PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，由平行线的性质得出∠PDQ＝∠OCB＝45°，则△DPQ是等腰直角三角形，得出PD＝PQ＝4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当点P在直线BC上方时，PD＝﹣m2+5m＝4，解方程即可；当点P在直线BC下方时，PD＝m2﹣5m＝4，解方程即可得出结果．

解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，

则C（0，﹣5），

当y＝0时，x﹣5＝0，

解得：x＝5，

∴B（5，0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：，

解得： ，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；

（2）令﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，

∴A（1，0），

∵C（0，﹣5），

∴OA＝1，OC＝5．

过抛物线上任意一点N作NH⊥x轴于点H，连接AC、BN，如图1所示：

∵∠OAC是锐角，

∴N点的横坐标小于5，

∵∠NBA＝∠OAC，∠NHB＝90°＝∠AOC，

∴△NBH～△CAO，

∴，

设N的坐标为（n，﹣n2+6n﹣5），

则NH＝|﹣n2+6n﹣5|，BH＝|5﹣n|，

∴，

∴或，

当时，

解得：n1＝5（舍去），n2＝6（舍去）．

当时，

解得：n1＝5（舍去），n2＝﹣4，

当n＝﹣4时，﹣n2+6n﹣5＝﹣45，

∴N为（﹣4，﹣45）．

综上所述，N的坐标为（﹣4，﹣45）；

（3）∵A（1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

∴AB＝4，△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴AM＝AB＝×4＝，

∵以点A，M，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，

∴AM//PQ，PQ＝AM＝，

∴PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图2所示：

则∠PDQ＝∠OCB＝45°，

∴△DPQ是等腰直角三角形，

∴PD＝PQ＝，

设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），

当点P在直线BC上方时，PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，

解得m1＝1（舍去），m2＝4，

当点P在直线BC下方时，PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，

解得：m1＝，m2＝，

综上所述，点P的横坐标为4或或．