Question

若抛物线y=ax²+bx+2，y=x²-4x+3的两个交点关于坐标原点对称，则a=

 

，b=

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质,关于原点对称的点的坐标

专题：

分析：设两交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），因为抛物线的交点和关于原点对称，则x₁+x₂=0，y₁+y₂=0，构造方程组即可得到（a+1）x²+（b-3）x+1=0，由x₁+x₂=0，求出b的值，再求出a的值，代入ab即可求出答案．

解答：解：由题可得：ax²+bx+2=x²-4x+3，
（a-1）x²+（b+4）x-1=0．
∵两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数．
则两根之和为：-

b+4

a-1

=0，两根之积为-

1

a-1

＜0（关于原点对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数），
解得b=-4，a＞11．
设两个交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
这两个根都适合第二个函数解析式，
代入第二个函数解析式得：y₁=x₁²-4x₁+3，y₂=x₂²-4x₂+3
那么y₁+y₂=（x₁²+x₂²）-4 （x₁+x₂）+3=0，
∵x₁+x₂=0，
∴y₁+y₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+3=0，
解得x₁x₂=

3

2

，
代入两根之积得-

1

a-1

=

3

2

，
解得a=

1

3

，
故答案为：a=

1

3

，b=-4．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，根与系数的关系等知识点，解此题的关键是构造方程组得到两根之和和两根之积，进一步求出a、b的值．此题难度较大，综合性强．