Question

已知：如图，点A（2，m）在双曲线y=

2

x

（x＞0）上，连结OA，过点A作直线l⊥OA交双曲线y=

2

x

（x＞0）于另一点C，AB⊥x轴于点B，点M是直线l的一个动点，作MN⊥y轴于点N，连结OM．
（1）点C的坐标为

 

；
（2）当∠OMN＞∠OAB时，写出符合要求的点M的横坐标t的取值范围：

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）先求出点A坐标，再确定直线OA的解析式，根据直线l和OA的垂直关系，求出l的解析式，根据C为直线l和双曲线的交点通过解方程组求出点C坐标即可；
（2）根据∠OMN＞∠OAB，由两个角的三角函数关系即可求出t的取值范围．

解答： 解：（1）把A（2，m）代入双曲线y=

2

x

得：m=1，
∴A（2，1），
设直线OA的解析式为y=kx，
把A（2，1）代入得：2k=1，
解得：k=

1

2

，
∴y=

1

2

x，
设直线l的解析式为y=ax+b，
∵直线l⊥OA，
∴

1

2

a=-1，
∴a=-2，
把A（2，1）代入得：b=5，
∴直线l为y=-2x+5，
解方程组

y= 2 x y=-2x+5

得：

x= 1 2 y=4

，或

x=2 y=1

，
∴C（

1

2

，4）；
故答案为：C（

1

2

，4）；
（2）∵点M在直线y=-2x+5上，
∴M（t，-2t+5），分三种情况讨论：
①当M在第一象限时，
∵∠OMN＞∠OAB，tan∠OMN=

ON

MN

=

-2t+5

t

，
tan∠OAB=

OB

AB

=

2

1

=2，
∴

-2t+5

t

＞2，
∴t＜

5

4

且t≠0；
②当M在第二象限时，
ON=-2t+5，MN=-t，
∵∠OMN＞∠OAB，tan∠OMN=

ON

MN

=

-2t+5

-t

，
由①得TAN∠OAB=2，
∴

-2t+5

-t

＞2，无解；
③当M在第四象限时，
ON=-（-2t+5）=2t-5，MN=t，
∵∠OMN＞∠OAB，tan∠OMN=

ON

MN

=

2t-5

t

，
由①得TAN∠OAB=2，
∴

2t-5

t

＞2，无解；
综上所述：当∠OMN＞∠OAB时，t＜

5

4

且t≠0；
故答案为：t＜

5

4

且t≠0．

点评：本题通过反比例函数的知识，考查用待定系数法求一次函数的解析式以及通过解方程组求交点的方法和三角函数的关系；培养学生综合运用知识进行推理和计算能力以及探究精神．