如图.在平面直角坐标系xOy中.△ABC的顶点A在y轴上.BC边与x轴重合.过点C作AB的垂线分别交AB和y轴于点D.H.AB=HC.线段OB.OC的长是方程x2-6x+8=0的根．(1)求△ABC的面积,(2)求直线CD的解析式,(3)点P是线段BC上的一点.点Q是线段OA上的一点.BP=2OQ.直线PQ与直线AB相交于点E.是否存在点P.使tan∠AEP=13?若存在.直接写出P点坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A在y轴上，BC边与x轴重合，过点C作AB的垂线分别交AB和y轴于点D，H，AB=HC，线段OB，OC（OB＜OC）的长是方程x²-6x+8=0的根．
（1）求△ABC的面积；
（2）求直线CD的解析式；
（3）点P是线段BC上的一点，点Q是线段OA上的一点，BP=2OQ，直线PQ与直线AB相交于点E，是否存在点P，使tan∠AEP=

？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出方程的根，即可得出OB=2，OC=4，BC=6，利用△ABO≌△CHO，AO=CO=4，再利用S_△ABC=

BC•AO求解即可．
（2）设CD的解析式为y=kx+b，把C（4，0），H（0，2）代入求解即可．
（3）作QF⊥AE于F，EM⊥AO于M，设PB=2t，OQ=t，利用P，Q的坐标求出直线PQ的解析式，与直线AB的解析式联立，求出点E的横坐标，利用三角形相似求出EA，AF，QF的长，利用tan∠AEP=

，求出t的值，即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵线段OB，OC（OB＜OC）的长是方程x²-6x+8=0的根．解方程x²-6x+8=0的根x₁=2，x₂=4．
∴OB=2，OC=4，
∴B（-2，0），C（4，0），
∴BC=6，
∵CD⊥AB，AO⊥BC，
∴∠DHA+∠DAH=∠ABO+∠DAH=90°，
∴∠DHA=∠ABO，
∵∠DHA=∠CHO，
∴∠ABO=∠CHO，
∵∠BOA=∠HOC=90°，
∴AB=CH，
在△ABO和△CHO中，

∠BOA=∠HOC

∠ABO=∠CHO

AB=CH

，
∴△ABO≌△CHO（AAS），
∴AO=CO=4，OH=BO=2，
∴H（0，2），∠DHA=∠CHO，
∴S_△ABC=

BC•AO=

×6×4=12．
（2）设CD的解析式为y=kx+b，把C（4，0），H（0，2）代入得

0=4k+b

2=b

，解得

k=-

b=2

∴CD的解析式为y=-

x+2，
（3）如图，作QF⊥AE于F，EM⊥AO于M，设PB=2t，OQ=t

∴P（2t-2，0），Q（O，t）设直线PQ为：y=kx+b，
b∴

(2t-2)k+b=0

b=t

，
解得

2-2t

b=t

，
∴y=

2-2t

x+t，
∵直线AB为y=2x+4，通过解方程组得到E的横坐标为

(4-t)(2-2t)

5t-4

，
∴EM=-

(4-t)(2-2t)

5t-4

，
∵AB=

sin∠BAO

，
∴EA=-

•

(4-t)(2-2t)

5t-4

，
同理利用△ABO∽△AQF得到AF=

(4-t)

，QF=

(4-t)

，
∵tan∠AEP=

，
∴-

•

(4-t)(2-2t)

5t-4

(4-t)

=3×

(4-t)

，

∴t=

，
∴P（

，0）．

点评：本题主要考查了一次函数的综合题，涉及三角形全等及相似的有关知识，解题的关键是利用利用△ABO∽△AQF得到AF及QF的长．

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