Question

已知关于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）
（1）判断方程是否有实数根？
（2）设方程的两个实数根为x₁，x₂．若y是m的函数，且y=（x₁-2）（x₂-2），求这个函数解析式．
（3）在（2）中，当自变量m取值满足什么条件时，y＜-2m？

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）先分两种情况讨论，当m=0时方程的解为1和当m≠0时，△=b²-4ac=m+2）²≥0有实数根，得出无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）由根与系数的关系得出x₁+x₂=

3m+2

m

，x₁•x₂=

2m+2

m

，代入y=（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4，计算即可求出这个函数解析式为y=-

2

m

；
（3）由y＜-2m得出-

2

m

＜-2m，根据不等式的性质结合m＞0，即可求解．

解答：解：（1）①当m=0时，方程为-2x+2=0，x=1，此一元一次方程有实根，
②当m≠0时，方程为一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0，
∵a=m，b=-（3m+2），c=2m+2，
∴△=b²-4ac=[-（3m+2）]²-4m×（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²，
∵（m+2）²≥0，
∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）由题意，得x₁+x₂=

3m+2

m

，x₁•x₂=

2m+2

m

，
∵y=（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4，
∴y=

2m+2

m

-2×

3m+2

m

+4=-

2

m

，
故这个函数解析式为y=-

2

m

；

（3）∵y＜-2m，
∴-

2

m

＜-2m，
∴

2

m

＞2m，
∵m＞0，
∴2＞2m²，
∴m²＜1，
∴-1＜m＜1，
∵m＞0，
∴0＜m＜1．

点评：此题考查了根的判别式，根与系数的关系及不等式的解法，难度适中．