Question

木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：

方案一：直接锯一个半径最大的圆；

方案二：圆心O1，O2分别在CD，AB上，半径分别是O1C，O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；

方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；

方案四：锯一块小矩形BCEF拼接到矩形AEFD下面，并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆。

（1）写出方案一中的圆的半径；

（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？

（3）在方案四中，设CE=（），圆的半径为，

①求关于的函数解析式；

②当取何值时圆的半径最大？最大半径是多少？并说明四种方案中，哪一个圆形桌面的半径最大？

 

 

Answer 1

（１）方案一中圆的半径为１

（２）方案三的圆半径较大

(3) ①当0<x<时，y=

当时，

②当时，y最大，y最大=，

四种方案中，第四种方案圆形桌面的半径最大。

【解析】

试题分析：（1）圆的直径就是BC的长

方案二：连Ｏ１Ｏ２，作ＥＯ１⊥ＡＢ于Ｅ，然后利用勾股定理即可得

方案三：连ＯＧ，然后利用△ＯＣＧ∽△ＣＤＥ即可得

（3）分情况讨论：分0<x<与这两种情况进行分析

试题解析：（１）方案一中圆的半径为１

（２）方案二

如图，连Ｏ１Ｏ２，作ＥＯ１⊥ＡＢ于Ｅ，设Ｏ１Ｅ＝Ｘ，

那么（２Ｘ）２＝２２＋（３－２Ｘ）２，解得Ｘ＝

方案三

连ＯＧ，∴ＯＧ⊥ＣＤ，∵∠Ｄ＝９０°，∴ＯＧ／／ＤＥ

∴△ＯＣＧ∽△ＣＤＥ，∴

设ＯＧ＝ｙ，∴,∴y=，∴方案三的圆半径较大

(3) ①当0<x<时，y=

当时，

②当时，y最大，y最大=，

四种方案中，第四种方案圆形桌面的半径最大。

考点：1、两圆外切，2、圆的切线，3、勾股定理，4、相似