Question

15．如图①，已知抛物线C₁：y=a（x+1）²-4的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求点C的坐标及a 的值；
（2）如图②，抛物线C₂与C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移4个单位，得到抛物线C₃．C₃与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C₃上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交CE于点F．
①求线段PF长的最大值；
②若PE=EF，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质即可直接求得顶点C的坐标，把B的坐标代入函数解析式即可求得a的值；
（2）①C₂的顶点坐标是C关于x轴的对称点，且二次项系数互为相反数，据此即可求得C₂的解析式，然后根据平移的性质求得C3的解析式．利用待定系数法求得直线CE的解析式，则PF的长即可利用x表示出来，然后根据二次函数的性质求得PF的最大值；
②PE=EF则P和F关于x轴对称，即纵坐标互为相反数，据此即可列方程求解．

解答 解：（1）顶点C为（-1，-4）．
∵点B（1，0）在抛物线C₁上，∴0=a（1+1）²-4，解得，a=1；
（2）①∵C₂与C₁关于x轴对称，
∴抛物线C₂的表达式为y=-（x+1）²+4，
抛物线C₃由C₂平移得到，
∴抛物线C₃为y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5，
∴E（5，0），
设直线CE的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}-4=-k+b\\ 0=5k+b\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{3}\\ b=-\frac{10}{3}\end{array}$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$，
设P（x，-x²+6x-5），则F（x，$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$），
∴PF=（-x²+6x-5）-（$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$）=-x²+$\frac{16}{3}$x-$\frac{5}{3}$=-（x-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{49}{9}$，
∴当x=$\frac{8}{3}$时，PF有最大值为$\frac{49}{9}$；
②若PE=EF，∵PF⊥x轴，
∴x轴平分PF，
∴-x²+6x-5=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
解得x₁=$\frac{5}{3}$，x₂=5（舍去）
∴P（$\frac{5}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，求函数最值问题常用的方法是转化为函数的性质问题．