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【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=.E为矩形外一点,且EBA∽△ABD.

(1)、求AE和BE的长;

(2)、若将ABE沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点E分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值;

(3)、如图,将ABE绕点B顺时针旋转一个角α(0°α<180°),记旋转中的ABE为ABE,在旋转过程中,设AE所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)、AE=4,BE=3;(2)、m=3;m=;(3)、DQ=3.

【解析】

试题分析:(1)、根据三角形相似得出AE和BE的长度;(2)、分两种情况分别计算出m的值;(3)、分四种情况分别求出DQ的长度.

试题解析:(1)、AE=4,BE=3

(2)、点E在AB上时,m=3;点E在AD上时,m=

(3)、存在.理由如下:在旋转过程中,等腰DPQ依次有以下4种情形:

如图31所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,求得DQ=3

如图32所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ,求得DQ=

如图33所示,点Q落在BD上,且PD=DQ,求得DQ=

如图34所示,点Q落在BD上,且PQ=PD,求得DQ=

综上所述,存在4组符合条件的点P、点Q,使DPQ为等腰三角形:

DQ的长度分别为3.

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