Question

如图，已知抛物线过点A（-1，0），B（4，0），C（

11

5

，-

12

5

）．
（1）求抛物线对应的函数关系式及对称轴；
（2）点C′是点C关于抛物线对称轴的对称点，证明直线y=-

4

3

（x+1）必经过点C′；
（3）问：以AB为直径的圆能否过点C？并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据对称轴公式，可得函数图象的对称轴；
（2）根据轴对称的对称点，可得C′点，根据点的坐标满足函数解析式，可得答案；
（3）根据圆心、圆的半径，可得圆的解析式，根据点的坐标是否满足函数解析式，可得答案．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
有函数图象过过点A（-1，0），B（4，0），C（

11

5

，-

12

5

），得

a-b+c=0 42a+4b+c=0 ( 11 5 )2a+ 11 5 b+c=- 12 5

，
解得

a= 5 12 b=- 5 4 c=- 5 3

，
抛物线对应的函数关系式是y=

5

12

x²-

5

4

x-

5

3

，
对称轴是x=-

b

2a

=-

- 5 4

2× 5 12

=

3

2

；
（2）证明：C′点的坐标是（

4

5

，-

12

5

），
把C′点的坐标（

4

5

，-

12

5

）代入y═-

4

3

（x+1），得
左边是y=-

12

5

，右边=-

4

3

（x+1）=-

4

3

（

4

5

+1）=-

12

5

，
左边=右边，
∴直线y=-

4

3

（x+1）必经过点C′；
（3）以AB为直径的圆能过点C，理由如下：
以AB为直径的圆是（x-

3

2

）²+y²=（

5

2

）²，
即（x-

3

2

）²+y²=

25

4

．
把C点的坐标代入圆的方程的左边，得
（

11

5

-

3

2

）²+（-

12

5

）²=（

22

10

-

15

10

）²+

144

25

=

49

100

+

576

100

=

25

4

，
左边=右边，
C点在以AB为直径的圆上．

点评：本题考查了二次函数的综合题，利用了待定系数法求解析式，点的坐标满足函数解析式，点在函数的图象上．