Question

【题目】在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm；点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点C出发，沿CO方向匀速运动，速度为1cm/s；若P、Q两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点Q作MQ∥BC，交BD于点M，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）求t为何值时，线段AQ、线段PM互相平分．
（2）设四边形APQM的面积为Scm2 ， 求S关于t的函数关系式；设菱形ABCD的面积为SABCD ， 求是否存在一个时刻t，使S：SABCD=2：5？如果存在，求出t，如果不存在，请说明理由．
（3）求时刻t，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，连接PM．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC=8，OB=OD=6，AB∥BC，

∵QM∥BC，

∴AP∥QM，

当PA=QM时，四边形AMQP是平行四边形，此时AQ与PM互相平分．

在Rt△BOC中，BC= =10，

∵ = ，

∴ = ，

∴QM= （8﹣t），

∵PA=QM，

∴2t= （8﹣t），

∴t= ，

∴当t= 时，AQ与PM相互平分

（2）解：不存在．理由如下：

如图2中，作QH⊥AD于H，

∵△AOD∽△AHQ，

∴ = ，

∴ = ，

∴QH= （16﹣t），

∴S= [2t+ （8﹣t）] （16﹣t）=﹣ t2+ t+48，

∵S：SABCD=2：5，

∴ [2t+ （8﹣t）] （16﹣t）： ×16×12=2：5，

整理得3t2﹣8t﹣128=0

∴t=8或﹣ ，

∵0＜t＜5，

∴t=8或﹣ 都不符合题意

（3）解：①如图3中，当∠PMQ=90°时，

∵△MPD∽△AOD，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ．

②如图4中，当PQ⊥MQ时，

∵△APQ∽△AOD，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ，

综上所述，当t= s或 s时，△PQM是直角三角形

【解析】（1）当AP=QM时，列出方程即可解决问题；
（2）不存在．理由如下：如图2中，作QH⊥AD于H，由△AOD∽△AHQ，可得=,L列出关于t的方程，根据梯形的面积公式计算即可；
（3）分两种情形①如图3中，当∠PMQ=90°时，②如图4中，当PQ⊥MQ时，分别利用相似三角形的性质，列出方程即可解决问题。

【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和梯形的定义，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形即可以解答此题．