Question

【题目】已知梯形中，∥，且，，。

⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；

⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点。

①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程）

Answer 1

【答案】⑴的长1或4;⑵① ;②或3-

【解析】

（1）当∠BPC=∠A时，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时三角形APB与三角形DPC相似，那么可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已经告诉，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长．
（2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式．
②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可．

解：⑴，，

，

又梯形中，，，

，

，

设，，

，

解得，，

的长1或4;

⑵①由⑴易得（如图），

，即，

②当CE=1时，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴,

或，

，

解得：AP=2或3.