Question

12．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，求证：△BPE∽△CEQ；
（2）如图①，当点Q在线段AC上，当AP=4，BP=8时，求P、Q两点间的距离；
（3）如图②，当点Q在线段CA的延长线上，若BP=2a，CQ=9a，求PE：EQ的值，并直接写出△EPQ的面积 （用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，得到∠2=∠4，又由∠B=∠C=45°，即可证得：△BPE∽△CEQ；
（2）连接PQ．根据△BPE∽△CEQ，得到对应边成比例，计算得到CQ=9，AQ=3，由勾股定理可得PQ=5；
（3）根据△BPE∽△CEQ，得到$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，求出BE=CE=3$\sqrt{2}$a，计算即可求出PE：EQ的值，连接PQ，作PH⊥BC于H，PG⊥EF于G，根据等腰直角三角形的性质求出QE、PG，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 （1）证明：连接PQ，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠1+∠2=135°，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠3=45°，
∴∠1+∠4=135°，
∴∠2=∠4，
∵∠B=∠C=45°，
∴△BPE∽△CEQ；
（2）∵AP=4，BP=8，
∴AB=AC=12，
∴BC=12$\sqrt{2}$，
∵由（1）知，△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，
∴$\frac{8}{6\sqrt{2}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{CQ}$，
∴CQ=9，
∴AQAC-CQ=3，又AP=4，
∴PQ=5；
（3）∵△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，即$\frac{2a}{CE}$=$\frac{BE}{9a}$，
解得，BE=CE=3$\sqrt{2}$a，
∴PE：EQ=BP：CE=$\sqrt{2}$：3，
如图②，连接PQ，作PH⊥BC于H，PG⊥EF于G，
∵∠B=45°，BP=2a，
∴PH=BH=$\sqrt{2}$a，又BE=3$\sqrt{2}$a，
∴HE=2$\sqrt{2}$a，
∴PE=$\sqrt{P{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
∴PG=GE=$\sqrt{5}$a，
∵PE：EQ=$\sqrt{2}$：3，
∴QE=3$\sqrt{5}$a，
∴△EPQ的面积=$\frac{1}{2}$×QE×PG=$\frac{15}{2}$a²．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意等腰直角三角形的两个锐角都是45°的应用．