Question

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（-1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为-4．
（1）求抛物线的表达式及a的值；
（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），如果直线DP与图象G恰好有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围．
（3）抛物线上有一个动点Q，当点Q在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S_△QAB=12，并求出此时Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据A和B的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式和a的值；
（2）首先求出直线CD的表达式和直线BD的表达式，然后求得直线BD与x轴的交点，根据图象即可确定；
（3）首先求得AB的长，根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高，从而求得Q的纵坐标，然后代入二次函数解析式求得Q的横坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=2x²+mx+n过点A（-1，a ），B（3，a），
∴抛物线的对称轴x=1．
∵抛物线最低点的纵坐标为-4，
∴抛物线的顶点是（1，-4）．
∴抛物线的表达式是y=2（x-1）²-4，
即y=2x²-4x-2．
把A（-1，a ）代入抛物线表达式y=2x²-4x-2，则a=4；
（2）∵抛物线顶点C（1，-4）关于y轴的对称点为点D，
∴D（-1，-4）．
求出直线CD的表达式为y=-4．
B的坐标是（3，4），设BD的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则直线BD的表达式为y=2x-2，当x=1时，y=0．
所以-4＜t≤0；
（3）存在点Q，使△QAB的面积等于12，
AB=3-（-1）=4，
设P到AB的距离是d，则$\frac{1}{2}$×4d=12，
解得：d=6，
则Q的纵坐标是4-6=-2，或4+6=10．
当Q的纵坐标是-2时，在y=2x²-4x-2中令y=-2，则2x2-4x=0，
解得：x=0或2，
则Q的坐标是（0，-2）或（2，-2）；
当Q的坐标是10时，在y=2x²-4x-2中令y=-2，则2x2-4x-2=10，
解得：x=1+$\sqrt{7}$或1-$\sqrt{7}$，
则Q的坐标是（1+$\sqrt{7}$，10）或（1-$\sqrt{7}$，10）．
总之，Q的坐标是：（0，-2）或（2，-2）或（1+$\sqrt{7}$，10）或（1-$\sqrt{7}$，10）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式确定Q的纵坐标是关键．