Question

1．如图，反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$与一次函数y=k₂x+b图象的交点为A（m，1），B（-2，n），OA与x轴正方向的夹角为α，且tanα=$\frac{1}{4}$．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式； 
（2）设直线AB与x轴交于点C，且AC与x轴正方向的夹角为β，求tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥x轴于点E，根据tanα=$\frac{1}{4}$可得出m的值，进而得出反比例函数的解析式，根据B（-2，n）在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上得出B点坐标，再把A、B两点的坐标代入直线y=k₂x+b即可得出其解析式；
（2）先求出C点坐标，再由A点坐标可得出AE的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵tan∠AOE=tanα=$\frac{1}{4}$，
∴OE=4AE．
∵A（m，1），
∴AE=1，
∴OE=4，
∴A（4，1）．
∵点A在反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$的图象上，
∴k₁=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$．
∵B（-2，n）在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴n=2，
∴B（-2，-2）．
将A、B两点的坐标代入直线y=k₂x+b得，
$\left\{\begin{array}{l}4{k}_{2}+b=1\\-2{k}_{2}+b=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k}_{2}=\frac{1}{2}\\ b=-1\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1．

（2）∵直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1，令y=0，则x=2，
∴C（2，0）．
∵A（4，1），
∴CE=2，AE=1，
∴tanβ=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．