Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE，求证：AE=BE+GE．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在AE上取一点Q，使EQ=BE，连接BQ，由AE，BE平分∠BAD、∠DBC，求出∠BAE与∠DBE的度数，利用内角和定理求出∠AEB=60°，由EQ=BE，得到三角形BQE为等边三角形，得到BE=BQ，∠QBE=60°，得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABQ与三角形GBE全等，利用全等三角形对应边相等得到AQ=GE，等量代换即可得证．

解答：证明：在AE上取一点Q，使EQ=BE，连接BQ，
∵AE、BE分别平分∠BAD、∠DBC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAD=15°，∠DBE=

1

2

∠DBC=45°，
∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴∠AEB=60°，
∵EQ=BE，
∴△BQE为等边三角形，
∴BE=BQ，∠QBE=60°，
∴∠ABD=∠QBE=60°，
∴∠ABQ=∠FBE，
在△ABQ和△GBE中，

AB=BQ ∠ABQ=∠FBE BQ=BE

，
∴△ABQ≌△GBE（SAS），
∴AQ=GE，
∴AE=BE+GE．

点评：本题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确理解平行四边形的性质是关键．