Question

已知关于x的方程（a+1）x²-2a²x+a³=0，是否存在负整数a，使方程有整数根？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根,立方公式,解一元二次方程-因式分解法,根的判别式

专题：存在型

分析：可分方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况进行讨论：（1）若原方程是一元一次方程，可得到a的值，只需验证方程的根是否是整数根即可；（2）若原方程是一元二次方程，由方程有整数根得根的判别式是整数的平方，故可设-a=n²（n为整数，且n≠0），把a=-n²代入原方程，然后运用因式分解法求出方程两根（用n的代数式表示），根据题意（方程有整数根）就可确定n的值，进而得到a的值．

解答：解：（1）若原方程是一元一次方程，则a+1=0，即a=-1，
此时原方程为-2x-1=0，
解得：x=-

1

2

．
方程没有整数根．
（2）若原方程是一元二次方程，则a+1≠0，即a≠-1，
∵a为负整数，∴a＜0，
∴根的判别式△=（-2a²）²-4（a+1）•a³=-4a³＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
若方程有整数根，
则△=-4a³=（2a）²•（-a）是整数的平方，
故可设-a=n²（n为整数，且n≠0），
∴原方程为（-n²+1）x²-2（-n²）²x+（-n²）³=0，
整理得：（1-n²）x²-2n⁴x-n⁶=0，
即[（1-n）x-n³]•[（1+n）x+n³]=0，
∴x₁=

n3

1-n

=

n3-1+1

1-n

=

(n-1)(n2+n+1)

1-n

+

1

1-n

=-n²-n-1+

1

1-n

，
x₂=-

n3

n+1

=-

n3+1-1

n+1

=-

(n+1)(n2-n+1)

n+1

+

1

n+1

=-n²+n-1+

1

n+1

．
∵x₁或x₂是整数，n为整数，n≠0，
∴1-n=-1或n+1=-1，
∴n=2或n=-2，
∴a=-4．
综上所述：a的值为-4．

点评：本题考查了一元二次方程的整数根、用因式分解法解一元二次方程、根的判别式、立方和公式、立方差公式等知识，而将方程的根拆成整式与最简分式的和是解决本题的关键．