Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是AB上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F．⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G，且AB与⊙O相切，则AE的长为_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

设AB与⊙O相切于M，连接OM并反向延长交CD于N，则MN⊥AB，连接GF，根据垂径定理得到CN＝DN，根据相似三角形的性质得到＝，如图，连接CG，根据相似三角形的性质得到＝，推出AG＝EA，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解：设AB与⊙O相切于M，连接OM并反向延长交CD于N，

则MN⊥AB，连接GF，

在正方形ABCD中，∵AB∥CD，

∴MN⊥CD，

∴CN＝DN，

∵∠ADC＝90°，

∴∠CDF+∠ADF＝90°，

∵AF⊥DE，

∴∠AFD＝90°，

∴∠DAF+∠ADF＝90°，

∴∠DAF＝∠CDF，

∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，

∴∠FCD+∠DGF＝180°，

∵∠FGA+∠DGF＝180°，

∴∠FGA＝∠FCD，

∴△AFG∽△DFC，

∴＝，

如图，连接CG．

∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，

∴△EDA∽△ADF，

∴＝，即＝，

∴＝，

在正方形ABCD中，DA＝DC，

∴AG＝EA，

∴DG＝4﹣AE，

∵ON＝DG＝2﹣AE，

∴CG＝2OM＝2（4﹣ON）＝4+AE，

∵DG2+CD2＝CG2，

∴（4﹣AE）2+42＝（4+AE）2，

∴AE＝1．

故答案为：1．