Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），y=ax+a．（2）a=-；（3）P点的坐标为P1（1，-4），P2（1，-）．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=ax2-2ax-3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．

（2）设点E（m，a（m+1）（m-3）），yAE=k1x+b1，利用待定系数法确定yAE=a（m-3）x+a（m-3），从而确定S△ACE=（m+1）[a（m-3）-a]=（m-）2-a，根据最值确定a的值即可；

（3）分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．

试题解析：（1）令y=0，则ax2-2ax-3a=0，

解得x1=-1，x2=3

∵点A在点B的左侧，

∴A（-1，0），

如图1，作DF⊥x轴于F，

∴DF∥OC，

∴，

∵CD=4AC，

∴=4，

∵OA=1，

∴OF=4，

∴D点的横坐标为4，

代入y=ax2-2ax-3a得，y=5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐标代入y=kx+b得，

解得，

∴直线l的函数表达式为y=ax+a．

（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N

设点E（m，a（m+1）（m-3）），yAE=k1x+b1，

则，

解得：，

∴yAE=a（m-3）x+a（m-3），M（0，a（m-3））

∵MC=a（m-3）-a，NE=m

∴S△ACE=S△ACM+S△CEM= [a（m-3）-a]+ [a（m-3）-a]m

=（m+1）[a（m-3）-a]

= （m-）2-a，

∴有最大值-a=，

∴a=-；

（3）令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，

解得x1=-1，x2=4，

∴D（4，5a），

∵y=ax2-2ax-3a，

∴抛物线的对称轴为x=1，

设P1（1，m），

①若AD是矩形的一条边，

由AQ∥DP知xD-xP=xA-xQ，可知Q点横坐标为-4，将x=-4带入抛物线方程得Q（-4，21a），

m=yD+yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∵AD2=[4-（-1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

PD2=[4-（-1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

∴[4-（-1）]2+（5a）2+（1-4）2+（26a-5a）2=（-1-1）2+（26a）2，

即a2=，∵a＜0，∴a=-，

∴P1（1，-）．

②若AD是矩形的一条对角线，

则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，-3a），

m=5a-（-3a）=8a，则P（1，8a），

∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，

∴AP2+PD2=AD2，

∵AP2=[1-（-1）]2+（8a）2=22+（8a）2，

PD2=（4-1）2+（8a-5a）2=32+（3a）2，

AD2=[4-（-1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，

解得a2=，∵a＜0，∴a=-，

∴P2（1，-4）．

综上可得，P点的坐标为P1（1，-4），P2（1，-）．