Question

【题目】如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， BC=12cm，半圆O以 2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D 、E 始终在直线BC 上．设运动时间为t（s） ，当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm。

（1）当t =(s)时，⊙O与AC所在直线第一次相切，点 C 到直线 AB 的距离为；
（2）当 t为何值时，直线 AB 与半圆O所在的圆相切；
（3）当△ABC的一边所在直线与圆O相切时，若⊙O与△ABC有重叠部分，求重叠部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）1.,6.
（2）解：如图2：

过点C作CF⊥AB于点F，
∴OF=6，
当直线AB于半圆O所在的圆相切时，
∵圆心O到AB的距离为6，半圆的半径为6，且圆心O又在BC上，
∴点O与点C重合，
即当点O运动到点C时，半圆O与ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，t=82=4，
如图3：

当点O运动到点B的右侧时，且OB=12 ,
过点O作OQ⊥AB于点Q，
在RtOQB中，∠OBQ=30°，则OQ=OB=6，
即OQ与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了12+12+8=32cm，t=322=16，
综上，当t为4秒或6秒时，直线 AB 与半圆O所在的圆相切.

（3）解：①当半圆O与AB边相切于点F时，如图2：

重叠部分的面积S=62=9；
②当半圆O与AC相切与点C时，如图4：

连接OG，
∵BC=DE=12，
∴点C与点D重合，点E与点B重合，
∵OG=OB，
∴∠ABC=∠OGB=30°，
∴∠COG=60°，
过点O作OH⊥AB于点H，
∵OB=6，
∴OH=OB=3，
∴BH=,
∴BG=2BH=，
此时重叠部分的面积S==;
综上，重叠部分的面积为9 cm2或（）cm2.

【解析】解：（1）∵DE=12，
∴OE=OD=6，
∵OC=8，
∴EC=8-6=2，
∴t=22=1，
∴当t=1时，⊙O与AC所在直线第一次相切；
如图1，

过点C作CF⊥AB于F，
在RtBCF中，∵∠ABC=30°，BC=12，
∴CF=BC=6，
所以答案是：1，6.

【考点精析】利用勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．