Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中．点A、B在反比例函数y＝的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变，M为线段AB的中点，连接OM，则线段OM的长度是_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小．首先证明点A与点B关于直线y＝x对称，因为点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AB＝，所以可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），则（m+4）（﹣4）＝5，整理得5＝m2+4m，推出A（1，5），B（5，1），可得M（3，3），求出OM即可解决问题．

如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，

∵M为线段AB的中点，

∴OA＝OB，

∵点A，B在反比例函数y＝的图象上，

∴点A与点B关于直线y＝x对称，

∵AB＝，

∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），

∴（m+4）（﹣4）＝5，

整理得5＝m2+4m，

解得：m＝1（负值舍去），

∴A（1，5），B（5，1），

∴M（3，3），

∴OM＝，

∴线段OM的长度为．

故答案为．