Question

如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5，O为△ABC的内心，若OC=

2

，求AB的长．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：如图，首先作出辅助线，求出CE的长度；运用切线的性质，结合勾股定理求出AF的长问题即可解决．

解答：解：如图，连接OD、OE；
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OD⊥AC，OE⊥BC；
又∵∠C=90°，OD=OE（设为r），
∴四边形ODCE为正方形；
∴r2+r2=(

2

)2，
即r=1；
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AD=AF（设为x），BE=BF（设为y），
则AC=x+1，BC=y+1，AB=x+y；
由勾股定理得：（x+y）²=（x+1）²+（y+1）²，
∴xy=x+y+1，
∵y+1=5，
∴y=4，x=

5

3

，
∴AB=x+y=

17

3

，
即AB的长为

17

3

．

点评：该题考查了三角形的内切圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用切线的性质及勾股定理来分析、判断、推理、证明．