Question

如图1，某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图2，其中点O是台历支架OA、OB的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA=OB=14m，CA=CB=4cm，∠ACB=120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6cm．
（1）求点O到直线AB的距离；
（2）求张角∠AOB的大小；
（3）求此时某月的日历从台历支架正面翻到背面所经历的路径长．
（参考数据：sin14.33°≈0.25，cos14.33°≈0.97，tan14.33°≈0.26，

46

≈6.78，π取3.14，所有结果精确到0.01，可使用科学计算器）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：

分析：（1）易证OD是AB的垂直平分线，可得AD的长，即可求得OD的长；
（2）根据OD，OA的值可以求得cos∠AOD的值，即可求得∠AOD的大小，即可解题；
（3）根据日历从台历正面翻到背面所经历角的大小，计算弧的长度即可解题．

解答：解：（1）如图，连接AB、OC，延长OC交AB于点D，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OD是AB的垂直平分线，
又CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ACD=BCD=60°，
∴AD=4×sin60°=2

3

，
∴OD=

142-(2 3 )2

=

184

=2

46

≈13.56cm，
即点O到直线AB的距离为13.56cm；
（2）∵OD⊥AB，OD=13.56cm，OA=14cm，
∴cos∠AOD=

OD

OA

=

13.56

14

≈0.97，
∴∠AOD≈14.33°，
∴∠AOB=2∠AOD≈28.66°；
（3）∵∠AOB=28.66°，∴日历从台历正面翻到背面所经历的角的
大小为360°-28.66°=331.34°，
∴日历从台历正面翻到背面所经历的
路径长约为

331.34×3.14×14

180

≈80.92cm．

点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了圆弧长的求解，本题中求得OD的长是解题的关键．