Question

【题目】已知，点在上，垂足为，若则的面积为____________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如下图，先证△ABF≌△CAG，得到CG=AF，再证△CDF≌△CDG，得到CF=CG，设EF=x，利用△AEF∽△ACG和△AEF∽△BEA得出ED和DF的长，最后在Rt△EFD中利用勾股定理求得x的值，进而得出△ADF的面积．

如下图，过点C作AC的垂线，交AD的延长线于点G

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠ACB=45°

∵AD⊥BF

∴∠ABE+∠BAE=90°

∵∠DAC+∠BAE=90°，∴∠DAC=∠ABE

在△ABF和△CAG中

∴△ABF≌△CAG

∴∠AFB=∠AGC，AF=GC

∵∠AFB=∠DFC，∴∠AGC=∠DFC

在△DFC和△DGC中

∴△DFC≌△DGC

∴GC=FC

∴AF=FC=

设EF=x

∵∠EAF=∠GAC，∠AEF=∠ACG=90°

∴△AEF∽△ACG

∵AF=FC=GC=，EF=x

∴

∴AE=2x

同理可证△AEF∽△BEA

∴

∴BE=4x

∴BF=5x=AG

∴DG=AG－AE－ED=5x－2x－2=3x－2=DF

∴在Rt△EFD中，

解得：x=

∴AE=3，EF=

故答案为：