Question

如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD．求证：AF=FG=BG．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：连接DF，DG，由DE垂直平分AB，可得AD=BD，然后由等边对等角可得∠DBA=∠A=30°，同理，由FM垂直平分AD，GN垂直平分BD，可得AF=DF，DG=BG，可得∠ADF=∠A=30°，∠BDG=∠DBA=30°，然后利用外角的性质可得：∠DFG=∠A+∠ADF=60°，∠DGF=∠BDG+∠DBG=60°，进而可得△DGF是等边三角形，进而可证AF=FG=BG．

解答：证明：连接DF，DG，

∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=30°，
同理，
∵FM垂直平分AD，GN垂直平分BD，
∴AF=DF，DG=BG，
∴∠ADF=∠A=30°，∠BDG=∠DBA=30°，
∵∠DFG是△ADF的外角，∠DGF是△BDG的外角，
∴∠DFG=∠A+∠ADF=60°，∠DGF=∠BDG+∠DBG=60°，
∴∠FDG=60°，
∴△DGF是等边三角形，
∴DF=FG=DG，
∴AF=FG=BG．

点评：此题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定理等知识点的应用，解此题的关键是判断△DFG是等边三角形．