Question

【题目】如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．

（1）请补全表：

α	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
S				1

（2）填空：

由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S（α）．例如：当α＝30°时，S＝S（30°）＝；当α＝135°时，S＝S（135°）＝．由上表可以得到S（60°）＝S（　 　°）；S（150°）＝S（　 　°），…，由此可以归纳出S（180°﹣α）＝（　 　°）．

（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD＝，∠AOB＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．

Answer 1

【答案】（1）（2）120；30；α（3）两个带阴影的三角形面积相等

【解析】

（1）过D作DE⊥AB于点E，当α＝45°时，可求得DE，从而可求得菱形的面积S，同理可求当α＝60°时S的值，当α＝120°时，过D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则可求得DF，可求得S的值，同理当α＝135°时S的值；

（2）根据表中所计算出的S的值，可得出答案；

（3）将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的结论，可求得△AOB和△COD的面积，从而可求得结论．

解：（1）当α＝45°时，如图1，过D作DE⊥AB于点E，

则DE＝AD＝，

∴S＝ABDE＝，

同理当α＝60°时S＝，

当α＝120°时，如图2，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，

则∠DAE＝60°，

∴DF＝AD＝，

∴S＝ABDF＝，

同理当α＝150°时，可求得S＝，

故表中依次填写：；；；；

（2）由（1）可知S（60°）＝S（120°），

S（150°）＝S（30°），

∴S（180°﹣α）＝S（α）

故答案为：120；30；α；

（3）两个带阴影的三角形面积相等．

证明：如图3将△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．

∵∠AOD＝∠COB＝90°，

∴∠COD+∠AOB＝180°，

∴S△AOB＝S菱形AMBO＝S（α）

S△CDO＝S菱形OCND＝S（180°﹣α）

由（2）中结论S（α）＝S（180°﹣α）

∴S△AOB＝S△CDO．