【题目】如图,点C是以AB为直径的⊙O上一点,CD是⊙O切线,D在AB的延长线上,作AE⊥CD于E.
(1)求证:AC平分∠BAE;
(2)若AC=2CE=6,求⊙O的半径;
(3)请探索:线段AD,BD,CD之间有何数量关系?请证明你的结论.
【答案】(1)详见解析;(2)⊙O的半径是2;(3)CD2=BDAD,证明详见解析
【解析】
(1)连接OC,由CD是⊙O切线得到OC⊥CD,根据平行线的性质得到∠EAC=∠ACO,由等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO,于是得到结论;
(2)连接BC,由三角函数的定义得到sin∠CAE=,得到∠CAE=30°,于是可得∠CAB=∠CAE=30°,由AB是⊙O的直径,得到∠ACB=90°,解直角三角形即可求解;
(3)根据余角的性质得到∠DCB=∠ACO,再得到△BCD∽△CAD,根据相似三角形的性质即可求解.
(1)证明:连接OC,
∵CD是⊙O切线,
∴OC⊥CD,
∵AE⊥CD,
∴OC∥AE,
∴∠EAC=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠EAC=∠A=CAO,
即AC平分∠BAE;
(2)解:连接BC,
∵AE⊥CE,AC=2CE=6,
∴sin∠CAE=,
∴∠CAE=30°,
∴∠CAB=∠CAE=30°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴cos∠CAB=
,
∴AB=4,
∴⊙O的半径是2;
(3)CD2=BDAD,
证明:∵∠DCB+∠BCO=90°,∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠DCB=∠ACO,
∴∠DCB=∠ACO=∠CAD,
∵∠D=∠D,
∴△BCD∽△CAD,
∴,
即CD2=BDAD.
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【题目】如图,△ABC中,AC为⊙O的直径,点D在BC上,AC=CD,∠ACB=2∠BAD
(1)求证:AB与⊙O相切;
(2)连接OD,若tanB=,求tan∠ADO.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上,下列结论:①CE=CF;②BD=1+;③BE+DF=EF;④∠AEB=75°.其中正确的序号是______.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0), B(0,),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2019的直角顶点的坐标为______________.
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【题目】某校在艺术节宣传活动中,采用了四种宣传形式:A唱歌、B舞蹈、C朗诵、D器乐.全校的每名学生都选择了一种宣传形式参与了活动,小明对同学们选用的宣传形式,进行了随机抽样调查,根据调查统计结果,绘制了如图两种不完整的统计图表:
请结合统计图表,回答下列问题:
(1)本次调查的学生共____人,a=______, 并将条形统计图补充完整;
(2)如果该校学生有2000人,请你估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有多少人?
(3)学校采用调查方式让每班在A、B、C、D四种宣传形式中,随机抽取两种进行展示,请用树状图或列表法,求某班抽到的两种形式有一种是“唱歌”的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线M:y=-x2+2bx+c与直线l:y=9x+14交于点A,其中点A的横坐标为-2.
(1)请用含有b的代数式表示c: ;
(2)若点B在直线l上,且B的横坐标为-1,点C的坐标为(b,5).
①若抛物线M还过点B,直接写出该抛物线的解析式;
②若抛物线M与线段BC恰有一个交点,结合函数图象,直接写出b的取值范围.
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【题目】如图①,点A表示小明家,点B表示学校.小明妈妈骑车带着小明去学校,到达C处时发现数学书没带,于是妈妈立即骑车原路回家拿书后再追赶小明,同时小明步行去学校,到达学校后等待妈妈.假设拿书时间忽略不计,小明和妈妈在整个运动过程中分别保持匀速.妈妈从C处出发x分钟时离C处的距离为y1米,小明离C处的距离为y2米,如图②,折线O-D-E-F表示y1与x的函数图像;折线O-G-F表示y2与x的函数图像.
(1)小明的速度为 m/min,图②中a的值为 .
(2)设妈妈从C处出发x分钟时妈妈与小明之间的距离为y米.当12≤x≤30时,求出y与x的函数表达式.
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