Question

如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．连结DC、BE交于F点．
（1）请你找出一对全等的三角形，并加以证明；
（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由；
（3）求证：∠DFA=∠EFA．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由题意可得AD=AB，AC=AE，由∠DAB=∠CAE=90°，可得到∠DAC=∠BAE，从而可证△DAC≌△BAE；
（2）由（1）可得∠ACD=∠AEB，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；
（3）作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．

解答：解：（1）△DAC≌△BAE，
理由是：∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
在△DAC与△BAE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

∴△DAC≌△BAE；

（2）DC⊥BE
理由是：
∵△DAC≌△BAE
∴∠ACD=∠AEB
∵∠AEB+∠ANE=90°
∠ANE=∠FNC     
∴∠FNC+∠ACD=90°
∴∠NFC=90°
∴DC⊥BE

（3）作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，
∵△DAC≌△BAE
∴S_△DAC=S_△BAE，DC=BE，
∴

1

2

DC•AM=

1

2

BE•AN，
∴AM=AN，
∴FA是∠DFE的平分线，
即：∠DFA=∠EFA．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．