如图.在平面直角坐标系xOy中.点P(x.y)是抛物线上的一个动点.抛物线的对称轴与x轴交于点D.经过点P的直线PE与y轴交于点E.是否存在△OPE与△OPD全等?若存在.请求出直线PE的解析式,若不存在.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是抛物线上的一个动点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在△OPE与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由。

解：存在。

∵，

∴抛物线的对称轴为x=2。

∴OD=2。

如图，若△OPE≌△OPD，则∠OPD=∠OPE，即点P在各象限的角平分线上，

当P₁（，），E₁（0，）时，由待定系数法可求P₁E₁的解析式为；

当P₂（，），E₂（0，）时，由待定系数法可求P₂E₂的解析式为。

综上所述，直线PE的解析式为或或或。

【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，全等三角形的判定，解一元二次方程，二次根式化简，分类思想的应用。

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