Question

7．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP=CP²．

Answer 1

分析 连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．先由切线的性质得出OC⊥PC，那么∠ACP+∠ACM=90°，由圆周角定理及直角三角形两锐角互余得出∠M+∠ACM=90°，根据同角的余角相等得出∠ACP=∠M，由圆周角定理得出∠M=∠CBP，那么∠ACP=∠CBP，又∠APC=∠CPB，得出△ACP∽△CBP，根据相似三角形对应边成比例得到AP：CP=CP：BP，即AP•BP=CP²．

解答 证明：连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．
∵PC是圆O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠ACP+∠ACM=90°，
又∵CM是直径，
∴∠M+∠ACM=90°，
∴∠ACP=∠M，
∵∠M=∠CBP，
∴∠ACP=∠CBP，
又∵∠APC=∠CPB（公共角），
∴△ACP∽△CBP，
∴AP：CP=CP：BP，
∴AP•BP=CP²．

点评 本题实际上证明了切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．涉及到的知识点有：切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，余角的性质，相似三角形的判定与性质．准确作出辅助线是解题的关键．