Question

已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（-1，0）（3，0）（0，

3

），将直线AC绕原点O顺时针旋转180°成为直线l．
（1）求直线l的解析式；
（2）设直线l交y轴于点D，动点P从点D出发以每秒1个单位速度沿直线l向斜上方运动．点P运动的时间为t秒，连接PO、PB，设△POB的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点B作EB⊥AB，EB交直线l于点E，在点P出发时，点Q也从点E同时出发，沿直线l向斜下方匀速运动，点Q运动的速度大于点P运动的速度，则在直线l上是否存在这样P、Q两点，使P、Q两点与A、B、C三点中的两点为顶点的四边形为矩形（非正方形）？若存在，请求出点Q的运动速度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）求得A和C关于原点O的对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）分P在线段DF上和在DF的延长线上两种情况进行讨论，求得P的纵坐标，利用三角形的面积公式求解；
（3）首先证明△ABC是直角三角形，则AD⊥BD，过A作AN⊥DF于点N，BC与DF相交于点M，则P、Q只能是D或M或N中的点，然后进行讨论即可．

解答：解：（1）A和C关于O的对称点分别是（1，0）和（0，-

3

），
设直线l的解析式是y=kx+b，
则

k+b=0 b=- 3

，
解得：

k= 3 b=- 3

，
则直线l的解析式是：y=

3

x-

3

；
（2）D的坐标是（0，-

3

），设直线l与x轴的交点是F，则F的坐标是（1，0），
则DF=

( 3 )2+12

=2，sin∠ODF=

1

2

，则∠ODF=30°，
当P在线段DF上时，即0≤t＜2时，DG=DP•cos∠ODF=

3

2

t，则OG=

3

-

3

2

t，
则S=

1

2

OB•OG=

1

2

×3×（

3

-

3

2

t）=-

3 3

2

t+

3 3

2

；
当P在DP的延长线上时，即t＞2时，PF=t-2，
则P到x轴的距离是：PF•sin60°=

3

2

（t-2），
则S=

1

2

×3×

3

2

（t-2）=

3 3

4

t-

3 3

2

；
（3）在y=

3

x-

3

中，令x=3，则y=3

3

-

3

=2

3

，则E的坐标是（3，2

3

）．
∵A、B、C的坐标分别为（-1，0）（3，0）（0，

3

），
∴AC=

12+( 3 )2

=2，BC=

( 3 )2+32

=2

3

，AB=4，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ACO=30°，∠CAO=60°，
又∵DF与AC关于原点O对称，
∴∠ADB=90°，∠OAD=60°，∠ADO=30°，
①Q在D点，P在Q关于F对称点时，AQBP时矩形，则P运动的时间是4秒，Q运动的距离是DE=

32+(2 3 + 3 )2

=6，则Q运动的速度是

3

2

单位长度/秒；
②过A作AN⊥DF于点N，BC与DF相交于点M．
∵l与AC关于O对称，
∴BC⊥DF，
在直角△BMF中，BF=2，则MF=2×sin30°=1，
在直角△ANF中，AF=2，NF=AF•sin30°=1，
则当P到N时，Q到M时，四边形APQC是矩形，则DN=2-1=1，则t=1，Q运动的距离是ME=2

3

×cos30°=2

3

×

3

2

=3，则Q运动的速度是3单位长度/秒；
当P到M，Q到N时，四边形AQNC是矩形，DP=DM=3，则t=3，Q运动的距离是EN=EF+NF=

22+(2 3 )2

+1=5，则速度是

5

3

单位长度/秒．
总之，Q的速度是

3

2

单位长度/秒或3单位长度/秒或

5

3

单位长度/秒．

点评：本题是待定系数法求函数解析式，中心对称的性质以及三角函数的综合应用，正确确定P、Q能取得的点的位置是关键．