Question

【题目】如图，边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C点）．将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有_____________（写出所有正确结论的序号）．

①∠N\AF＝45°；②当P为 BC中点时，AE为线段NP的中垂线；

③四边形AMCB的面积最大值为10； ④线段AM的最小值为2；

⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4-4．

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】①正确，只要证明∠APM=90°即可解决问题；③正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可；②错误，设ND=NE=y，在RT△PCN利用勾股定理求出y即可解决问题；④错误，作MG⊥AB于G，因为AM2=MG2+AG2=16+AG2，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5；⑤正确，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，列出方程即可解决问题．

∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，

∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，

∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，

∴△CMP∽△BPA．故①正确，

设PB=x，则CP=4-x，∵△CMP∽△BPA，∴，∴CM=x（4-x），

∴S四边形AMCB= [4+x（4-x）]×4=－（x-2）2+10，

∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故③正确，

当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y， 在RT△PCN中，（y+2）2=（4-y）2+22，

解得y=，∴NE≠EP，故②错误，

作MG⊥AB于G，∵AM2=MG2+AG2=16+AG2，∴AG最小时AM最小，

∵AG=AB-BG=AB-CM=4－x（4-x）=（x-1）2+3，

∴x=1时，AG最小值=3，∴AM的最小值==5，故④错误．

∵△ABP≌△ADN时，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，

∴∠KPA=∠KAP=22.5°∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，

∴PB=BK=z，AK=PK=z， ∴z+z=4，∴z=4－4，∴PB=4－4，故⑤正确．